* Les points de fidélité du supermarché

Romane est gérante d'un supermarché et propose une offre promotionnelle sous la forme du jeu suivant, permettant de cumuler des points de fidélité. 

Une urne contient \(50\) jetons indiscernables au toucher. Sur chaque jeton est indiqué le nombre de points qu'il rapporte. L'urne contient :

• \(1\) jeton qui rapporte \(100\) points de fidélité ;
  
• \(4\) jetons qui rapportent \(50\) points de fidélité ;
  
• \(8\) jetons qui rapportent \(20\) points de fidélité ;
  
• \(12\) jetons qui rapportent \(10\) points de fidélité ;
  
• les autres jetons ne rapportent pas de point.
  

Chaque client est autorisé à piocher une fois par passage en caisse.
On note \(N\) la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de points gagnés.

1. Donner les valeurs prises par \(N\).
2. Traduire par une phrase l'événement \(\{N=100\}\), puis en donner la probabilité.
3. Traduire par une phrase l'événement \(\{N\geqslant 20\}\), puis en donner la probabilité.
4. Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de \(N\).
\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nombre de points } n_i&~0~&10&20&50&100\\ \hline \text{Probabilité }P(N=n_i)&\\ \hline \end{array}\end{align*}\)
5. Calculer l'espérance de la variable aléatoire, puis en donner une interprétation dans le contexte.
6. Le magasin clame : « Près de \(24~000\) points gagnés chaque jour par nos clients ! » Estimer le nombre de clients journaliers du supermarché.